手机棋牌的管理部门主要是 公安机关。根据《中华人民共和国治安管理处罚法》和《中华人民共和国刑法》的相关规定，赌博行为属于公安机关的管辖范畴，公安机关会根据情节的严重程度进行处理，包括拘留、罚款以及刑事立案侦查等。此外，网络赌博还属于网络监管范畴，公安里有专门的部门负责。
同时，若涉及游戏厅等娱乐场所，则除了公安机关外，还涉及文化部和工商部门的管理。文化部负责娱乐场所的日常经营活动监督管理，而工商局则负责工商营业执照的发放。
综上所述，手机棋牌的管理主要归公安机关负责，同时涉及文化部和工商部门的相关管理职责。